Контрольная работа по алгебре в формате ОГЭ (2025)

I вариант

Полина летом отдыхает у дедушки в деревне Ясная. Вчетверг они собираются съездить на велосипедах в село Майское в магазин. Издеревни Ясная в село Майское можно проехать по прямой лесной дорожке. Естьболее длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Камышевка до деревниХомяково, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущеев село Майское. Есть и третий маршрут: в деревне Камышевка можно свернуть напрямую тропинку в село Майское, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссепрямоугольные треугольники.

По шоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч,а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 15 км/ч. На плане изображеновзаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна2 км.

1.  Пользуясьописанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населенные пункты. Вответ запишите последовательность трех цифр без пробелов, запятых и другихдополнительных символов.

2.  Сколькокилометров проедут Полина с дедушкой от деревни Ясная до села Майское, если онипоедут по шоссе через деревню Хомяково?

3.  Найдитерасстояние от деревни Ясная до села Майское по прямой. Ответ дайте вкилометрах.

4.  Сколькоминут затратят на дорогу из деревни Ясная в село Майское Полина с дедушкой,если поедут через деревню Хомяково?

5.  В таблицеуказана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырех магазинах,расположенных в деревне Ясная, селе Майское, деревне Камышевка и деревнеХомяково.

Полина с дедушкойхотят купить 2 л молока, 3 кг говядины и 2 кг картофеля. В каком магазине такойнабор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данногонабора в этом магазине.

6.  Вычислите: 

7.  Какое изчисел отмечено на координатной прямой точкой A?

1)  

2)  

3)  

4)   В ответе укажитеномер правильного варианта.

7.  Игральнуюкость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число,большее 3.

8. Решите системунеравенств

На каком рисунке изображеномножество ее решений?

В ответе укажитеномер правильного варианта.

9.  Законвсемирного тяготения можно записать в виде гдеF  — сила притяжения между телами (в ньютонах), и   — массы тел(в килограммах), r  — расстояние между центрами масс (в метрах), а   —гравитационная постоянная, равная 6,67 · 10⁻¹¹ H·м²/кг².Пользуясь формулой, найдите массу тела (в килограммах), если Н, кг, а м.

II вариант

На рисунке изображен план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке вдеревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка намашине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится вдеревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по проселочнойдороге мимо реки. Есть другой путь  — по шоссе до деревни Ванютино, где нужноповернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третиймаршрут проходит по проселочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можносвернуть на шоссе до Богданово. Четвертый маршрут пролегает по шоссе до деревниДоломино, от Доломино до Горюново по проселочной дороге мимо конюшни и отГорюново до Богданово по шоссе. Еще один маршрут проходит по шоссе до деревниЕгорка, по проселочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе отЖилино до Богданово.

Шоссе и проселочные дороги образуют прямоугольныетреугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, апо проселочным дорогам  — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки доДоломино равно 12 км, от Доломино до Егорки  — 4 км, от Егорки до Ванютино  —12 км, от Горюново до Ванютино  — 15 км, от Ванютино до Жилино  — 9 км, а отЖилино до Богданово  — 12 км.

1.  Пользуясьописанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. В ответзапишите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и другихдополнительных символов.

2.  Найдитерасстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.

3.  Найдитерасстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах.

4.  Сколькоминут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедутмимо пруда через Горюново?

5.  Напроселочных дорогах машина дедушки расходует 9,2 литра бензина на 100 км.Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино, как и на путьчерез Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объембензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на шоссе?

6.  Найдитезначение выражения

7.  Известно,что a и b  — отрицательные числа и Сравните и

1)

2)

3)4)  сравнить невозможно

8. Решите системунеравенств

На каком рисунке изображено множествоее решений?

В ответе укажитеномер правильного варианта.

9.  Периодколебания математического маятника T (в секундах) приближенно можновычислить по формуле где l  —длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (вметрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Полина летомотдыхает у дедушки в деревне Ясная. В четверг они собираются съездить навелосипедах в село Майское в магазин. Из деревни Ясная в село Майское можнопроехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейномушоссе через деревню Камышевка до деревни Хомяково, где нужно повернуть подпрямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Майское. Есть и третиймаршрут: в деревне Камышевка можно свернуть на прямую тропинку в село Майское,которая идет мимо пруда.

Леснаядорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

Пошоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке итропинке  — со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположениенаселенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

1.  Пользуясьописанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населенные пункты. Вответ запишите последовательность трех цифр без пробелов, запятых и другихдополнительных символов.

Решение. Пользуясьописанием и рисунком можно заметить, что деревня Камышевка соответствует цифре2, деревня Ясная  — цифре 1, деревня Хомяково  — цифре 3.

Ответ: 213.

Примечание.

Заметим, что названия населенныхпунктов не обязаны соответствовать правилам орфографии русского языка.

2.  Сколькокилометров проедут Полина с дедушкой от деревни Ясная до села Майское, если онипоедут по шоссе через деревню Хомяково?

Решение. Расстояние,которое проедут Полина с дедушкой, проезжая через Хомяково, равно сумме длинкатетов прямоугольного треугольника с катетами 32 км и 24 км. Таким образом,имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24  =  56 км.

Ответ: 56.

3.  Найдитерасстояние от деревни Ясная до села Майское по прямой. Ответ дайте вкилометрах.

Решение. Расстояниеот деревни Ясная до села Майское соответствует длине гипотенузы прямоугольноготреугольника с катетами 32 км и 24 км. По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 40.

4.  Сколькоминут затратят на дорогу из деревни Ясная в село Майское Полина с дедушкой,если поедут через деревню Хомяково?

Решение. По шоссеиз деревни Ясное до деревни Хомяково Полина с дедушкой проедут 32 километра соскоростью 20 км/ч. Следовательно, они затратят 32 : 20 = 1,6 часа или 96 минут.Далее из деревни Хомякова до села Майское они проедут еще 24 км также по шоссес такой же скоростью, значит, им понадобится еще 24 : 20 = 1,2 часа или 72минуты. Таким образом, Полина с дедушкой на весь путь затратят 96 + 72 = 168минут.

Ответ: 168.

5.  В таблицеуказана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырех магазинах,расположенных в деревне Ясная, селе Майское, деревне Камышевка и деревнеХомяково.

Полина с дедушкой хотят купить 2 лмолока, 3 кг говядины и 2 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктовбудет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этоммагазине.

Решение. В деревнеЯсная стоимость набора составит

В селе Майское стоимость наборасоставит

В деревне Камышевка стоимостьнабора составит

В деревне Хомяково стоимость наборасоставит

Самый дешевый набор продуктов можнокупить в деревне Ясная по цене 1134 руб.

Ответ: 1134.

6.  Вычислите: 

Решение. Приведемдроби к общему знаменателю:

Ответ: −0,05.

7.  Какое изчисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответеукажите номер правильного варианта.

1)  

2)  

3)  

4)  

Решение. Возведем вквадрат числа :

Число лежит междучислами и и ближе к числу Поэтому точкой A отмечено число

Правильный ответ указан под номером2.

8.  Найдитезначение выражения приa  =  2.

Решение. Преобразуемвыражение:

При a  =  2 значениеполученного выражения равно 2⁶  =  64.

Ответ: 64.

9.  Квадратныйтрехчлен разложен на множители: Найдите

Решение. Корниуравнения   — суть числа −9 и 3. В силу формулы гдеи  —корни уравнения получаем Следовательно,

Ответ: 3.

10.  Игральнуюкость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число,большее 3.

Решение. Прибросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадетбольше трех очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4,5, или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трехочков равна Таким образом,при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событиеА  — выпало число, большее 3, либо событие Б  — выпало число не больше 3. Тоесть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтомувероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3 равна

Ответ: 0,75.

11.  На рисункеизображены графики функций вида y  =  ax² + bx+ c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и cи графиками функций.

Коэффициенты

Графики

Запишите в ответ цифры, расположивих в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Еслипарабола задана уравнением то: при то ветви параболы направлены вверх, а при   —вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0.Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значениеc положительно, если ниже оси абсцисс  — отрицательно.

Таким образом, функциямсоответствуют следующие графики: А  — 1, Б  — 3, В  — 2.

Ответ: 132.

12.  Законвсемирного тяготения можно записать в виде гдеF  — сила притяжения между телами (в ньютонах), и   — массы тел(в килограммах), r  — расстояние между центрами масс (в метрах), а   —гравитационная постоянная, равная 6,67 · 10⁻¹¹ H·м²/кг².Пользуясь формулой, найдите массу тела (в килограммах), если Н, кг, а м.

Решение. Выразимзаряд из закона всемирного тяготения:

Подставляя, получаем:

Ответ: 4000.

13.  Решитесистему неравенств

На каком рисунке изображеномножество ее решений?

В ответе укажитеномер правильного варианта.

Решение. Решимсистему:

Решением системы является отрезок,изображенный под номером 2.

Правильный ответ указан под номером2.

14.  При свободномпадении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше.Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 спосле начала падения.

Решение. Составимматематическую модель задачи: в первую секунду  — 5 м, во вторую секунду  —15 м, в третью секунду  — 25 м, в четвертую секунду  — 35 м, в пятую секунду  —45 м.

Всего за пять секунд  —5 + 15 + 25 + 35 + 45  =  125 (м).

Ответ: глубинашахты 125 м.

Приведем другоерешение.

Пути, пройденные телом за каждуюсекунду, представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁  =  5и разностью d  =  10. Путь, пройденный телом за 5 секунд, найдем поформуле суммы арифметической прогрессии при n  =  5:

15.  Один уголпараллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте вградусах.

Решение. Пусть x  —меньший угол параллелограмма, а 2x  — больший угол, x + 2x+ x + 2x = 6x  — сумма углов параллелограмма, откуда x= 60°.

Таким образом, меньший уголпараллелограмма равен 60°.

Ответ: 60.

16.  Вокружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

Решение. Построим OAи OC радиусы. Центральный угол AOC равен 360°:8 = 45°. Угол ABC  —вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому он равен 45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5.

17.  Боковаясторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдитеплощадь этого треугольника.

Решение. Пусть a  —длина основания равнобедренного треугольника, b  — длина боковой стороныравнобедренного треугольника, h  — высота, проведенная к основанию a.Высота равнобедренного треугольника, проеденная к основанию, также является егобиссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдем высоту потеореме Пифагора:

Площадь треугольника равна половинепроизведения основания на высоту:

Ответ: 480.

18.  Наклетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображен параллелограмм. Найдитедлину его большей высоты. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение. Большейбудет высота, проведенная к меньшей стороне. По рисунку видно, что длинабольшей высоты параллелограмма равна 5 см.

Ответ: 5.

19.  Укажитеномера верных утверждений.

1)  Если угол равен 47°, то смежныйс ним равен 153°.

2)  Если две прямые перпендикулярнытретьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3)  Через любую точку проходитровно одна прямая.

Если утвержденийнесколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверимкаждое из утверждений.

1)  «Если угол равен 47°, тосмежный с ним равен 153°»  — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2)  «Если две прямыеперпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны»  — верно,по признаку параллельности прямых.

3)  «Через любую точку проходитровно одна прямая»  — неверно через одну точку проходит бесконечноемножество прямых.

Ответ: 2.

Примечание.

Не следует думать, что вопрос«какие утверждения верные?» подразумевает, что в ответе должно быть несколькоутверждений. Так же, как задача «решите уравнение» не подразумевает, чторешение вообще есть.

20.  Сократитедробь:  

Решение. Имеем:

Ответ: 2.

21.  Дваоператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Еслипервый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75%всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работаяотдельно?

Решение. Пустьпервый оператор может выполнить данную работу за x  часов, а второй за y часов. За один час первый оператор выполняет   часть всей работы, авторой  Составим системууравнений:

Ответ: первыйоператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

22.  Постройтеграфик функции иопределите, при каких значениях k прямая имеет с графикомровно одну общую точку.

Решение. Упростимвыражение:

График исходной функции сводится кграфику параболы свыколотой точкой

Построим график функции:

График функции получается из графика функции отражением относительно оси Ox и последующимсдвигом на (см. рис.)

Чтобы прямая имела спостроенным графиком одну общую точку, нужно чтобы

или прямая была касательной кграфику (и точка касания не равна 1),

или прямая пересекает график в точке и в какой-то второйточке.

Случай касания реализуется, когдадискриминант квадратного уравнения равеннулю. Тогда

При этом если точкакасания а если точка касания

Для рассмотрения второго случаяподставим в уравнение

получим При этомдискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит, еще одно решение точноесть.

Ответ: −3,25;−3; 3.

23.  Втреугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60°соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение. Найдем

Так как BD - биссектриса, то

Треугольник HBC- прямоугольный. Таккак то

Таким образом, искомый угол DBHравен

Ответ:

24.  Докажите,что у равных треугольников ABC и биссектрисы, проведенные извершины и равны.

Решение. Пусть AKи   — биссектрисы треугольников ABC и Втреугольниках ABK и соответственно равны стороны ABи а также углы B и BAK и Следовательно,треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, что и требовалось доказать.

25.  Окружностьпроходит через вершины   и C  треугольника ABC  ипересекает его стороны AB  и BC  в точках   и E соответственно. Отрезки AE  и CK  перпендикулярны. Найдите  если  = 20°.

Решение. Из  имеет  = 90° − 20° = 70°, тогда  = 180° − 70° =110°. Далее  так как ониопираются на одну дугу окружности: следовательно,  Вчетырехугольнике BKDE  имеем  = 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.

Ответ: 50°.

1.  Тип1№408362

Нарисунке изображен план сельской местности.

Таняна летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на планеобозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Танюна автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки вБогданово можно проехать по проселочной дороге мимо реки. Есть другой путь  —по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево надругое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по проселочнойдороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе доБогданово. Четвертый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, отДоломино до Горюново по проселочной дороге мимо конюшни и от Горюново доБогданово по шоссе. Еще один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, попроселочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино доБогданово.

Шоссеи проселочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

Пошоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по проселочным дорогам  — соскоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломинодо Егорки  — 4 км, от Егорки до Ванютино  — 12 км, от Горюново до Ванютино  —15 км, от Ванютино до Жилино  — 9 км, а от Жилино до Богданово  — 12 км.

Пользуясь описанием, определите,какими цифрами на плане обозначены деревни. В ответ запишите последовательностьчетырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение. Пользуясьописанием и рисунком, можно заметить, что деревня Егорка соответствует цифре 2,деревня Доломино  — цифре 3, деревня Ванютино  — цифре 4, деревня Жилино  —цифре 5, деревня Горюново  — цифре 6, деревня Богданово  — цифре 7.

Ответ: 4625.

2.  Тип2№408366

Найдите расстояние от Антоновки доЕгорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Решение. Расстояниеот Антоновки до Доломино состоит из расстояний от Антоновки до Егорки и отЕгорки до Доломино, следовательно, расстояние от Антоновки до Егорки равно км.

Ответ: 8.

3.  Тип3№408370

Найдите расстояние от Егорки доЖилино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение. Расстояниеот Егорки до Жилино соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника скатетами 12 км и 9 км. По теореме Пифагора

Ответ: 15.

4.  Тип4№408374

Сколько минут затратят на дорогуТаня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда черезГорюново?

Решение. Расстояниеот Антоновки до Горюнова соответствует гипотенузе треугольника с катетами 20 кми 15 км. Найдем ее по теореме Пифагора: км. Попроселочной дороге Таня с дедушкой едут со скоростью 30 км/ч. Следовательно, напуть от Антоновки до Горюново они затратят часа или 50минут. Расстояние от Горюново до Богданово 6 км, скорость по шоссе Тани сдедушкой составляет 50 км/ч. Следовательно, на путь от Горюново до Богдановоони затратят часа или 7,2 минуты. Такимобразом, на весь путь Таня с дедушкой затратят минуты.

Ответ: 57,2.

5.  Тип5№408382

На проселочных дорогах машинадедушки расходует 9,2 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь изАнтоновки до Богданово через Ванютино, как и на путь через Доломино и Горюновомимо конюшни ей необходим один и тот же объем бензина. Сколько литров бензинана 100 км машина дедушки расходует на шоссе?

Решение. Пусть xлитров  — расход бензина по шоссе на 100 км. Путь из Антоновки до Богдановочерез Ванютино проходит полностью по шоссе. Расстояние является суммойрасстояний от Антоновки до Ванютино и от Ванютино до Богданово, то есть Следовательно, бензина будет затрачено литров.

Длина пути из Антоновки доБогданово через Доломино и Горюново равна сумме расстояний от Антоновки доДоломино и от Горюново до Богданова пройденныхпо шоссе, и расстояния от Доломина до Горюнова попроселочной дороге. Следовательно, бензина будет затрачено литров.

Известно, что на оба пути необходимодин и тот же объем бензина. Составим и решим уравнение:

литров на100 км.

Ответ: 6,8.

6.  Тип6№287946

Найдите значение выражения

Решение. Умножимчислитель и знаменатель на 100:

Ответ: 12,5.

7.  Тип7№353312

Известно, что a и b  —отрицательные числа и Сравните и

1)

2)

3)

4)  сравнить невозможно

Решение. Поскольку то

Ответ: 1.

Приведем решениезадачи с помощью числового моделирования.

По условию a и b  —отрицательные и a < b. Пусть a = −2 и b = −1. Тогда

1)  —верно.

2)  —неверно.

3)  —неверно.

4)  сравнить невозможно  — неверно.

8.  Тип8№401984

Найдите значение выражения

Решение. Применимформулы квадрата суммы и квадрата разности:

Ответ: 14.

9.  Тип9№338509

Решите уравнение

Решение. Последовательнополучаем:

Ответ: 9,7.

10.  Тип10№311505

В чемпионате по футболу участвуют16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Каковавероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение. Каждаякоманда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того,что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75.

Ответ: 0,75.

11.  Тип11№34

Установите соответствие междуграфиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

1)  

2)  

3)  

4)  

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ укажите ввиде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

Решение. Определимвид графика каждой из функций.

1)    —уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2)    — уравнение прямой.

3)    — уравнение верхнейветви параболы, направленной вправо.

4)    — уравнениегиперболы.

Тем самым найдено соответствие:A  — 1, Б  — 4, В  — 2.

Ответ: 142.

12.  Тип12№46

Период колебания математическогомаятника T (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле где l  —длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (вметрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Решение. Подставимв формулу значение T: 

Ответ: 2,25.

Примечание.

Период колебаний математическогомаятника вычисляется по формуле гдеg  — ускорение свободного падения. При приближенных вычислениях можнопринять и использоватьформулу, приведенную в условии задачи.

13.  Тип13№350444

На каком рисунке изображеномножество решений неравенства

Решение. Решимнеравенство: Корнями уравнения являются числа 8 и -8. Поэтому

Множество решений неравенстваизображено на рис. 1.

Ответ: 1

14.  Тип14№394311

Врач прописал пациенту приниматьлекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждыйследующий день  — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв в день 30 капель,он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма,если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение. На первомэтапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собойвозрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью,равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап, когда число капель в деньвозрастает продолжается Суммарноечисло капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметическойпрогрессии:

Затем в течение трёх дней пациентпринимает ещё

Последний этап приёма начинается стого момента, когда пациент уменьшит число принимаемых капель на 3, то естьпримет в день 27 капель. Этот этап длится Аналогичнопервому этапу:

Таким образом, за весь курс приёмапациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести неменьше пузырьковлекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства  — 2.

Ответ: 2.

15.  Тип15№311343

Вравностороннем треугольнике ABC  медианы BK  и AM пересекаются в точке O. Найдите

Решение. Медианы вравностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому Треугольник AOK  — прямоугольный,поэтому

Ответ: 60.

16.  Тип16№450514

Втреугольнике ABC угол C равен 45°, Найдите радиус окружности, описанной около этоготреугольника.

Решение. По теоремесинусов:

Ответ: 6.

17.  Тип17№169912

Радиус круга равен 3, а длинаограничивающей его окружности равна 6π. Найдите площадь круга. В ответзапишите площадь, деленную на π.

Решение. Площадькруга равна имеем:

Ответ: 9.

----------

В открытом банке ответ с числом

18.  Тип18№348499

Наклетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите егоплощадь.

Решение. Площадьпараллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высоту.Таким образом,

Ответ: 18.

19.  Тип19№311851

Укажите номера верных утверждений.

1)  Если при пересечении двухпрямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямыепараллельны.

2)  Через любые три точки проходитне более одной прямой.

3)  Сумма вертикальных углов равна180°.

Если утвержденийнесколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверимкаждое из утверждений.

1)  По признаку параллельностипрямых, если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углыравны, то эти две прямые параллельны. Утверждение 1 верно, поскольку еслисоответственные углы равны 37°, то они равны друг другу .

2)  Через любые три точки проходитне более одной прямой. Утверждение верно, через любые три точки либо нельзяпровести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно провести однупрямую, если они лежат на одной прямой.

3)  Вертикальные углы равны попостроению, при этом их сумма равна 180°, только если эти углы прямые,утверждение 3 неверно.

Ответ: 12.

20.  Тип20№338894

Решите систему уравнений

Решение. Выразимпеременную y из второго уравнения и подставим в первое:

Решим первое уравнение системы.Пусть

Тогда

Система имеет четыре пары решений:

Ответ: (−1; −6);(1; 6); (−6; −1); (6; 1).

21.  Тип21№351543

Из А в В одновременновыехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половинупути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результатечего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скоростьпервого автомобилиста.

Решение. Пусть S  —расстояние между A и В, x км/ч  — скорость первогоавтомобилиста, тогда км/ч  —скорость второго автомобилиста на второй половине пути.

Составим таблицу по данным задачи:

Время, за которое оба автомобилистапроехали весь путь от A до B одинаково, следовательно, можносоставить уравнение:

По условию задачи скоростьавтомобиля не может быть отрицательной, следовательно, скорость равна 36 км/ч

Ответ: 36 км/ч.

Примечание.

Не следует думать, что если второйавтомобиль ехал вторую половину пути со скоростью, на 9 км/ч большей скоростипервого автомобиля, то первую половину пути он ехал со скоростью, на 9 км/чменьшей. Первую половину пути второй автомобиль ехал медленнее, следовательно,он затратил на нее больше времени, чем на вторую половину пути. Поэтому разницав скорости первого и второго автомобиля на первой половине пути по модулюдолжна быть меньше, чем на второй половине пути.

22.  Тип22№311610

Постройте график функции и найдите значения m,при которых прямая имеет с ним ровно две общие точки.

Решение. Раскроеммодули:

Получаем, что график функциисовпадает с прямой при совпадаетс прямой при и совпадает с прямой при График изображен на рисунке.

Прямая имеет сграфиком данной функции ровно две общие точки при или

Ответ:

23.  Тип23№311240

Окружность проходит через вершины Аи С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВСв точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СКперпендикулярны. Найдите ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Решение. Углы АКСи АЕС равны, т. к. опираются на одну дугу окружности; следовательно, ∠ВКС = ∠ВЕА, каксмежные с ними. Из четырехугольника ВКDЕ: ИзВКС: ∠КСВ =180° − 125° − 20°  =  35°.

Ответ: 35°.

24.  Тип24№315039

Данправильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединитьотрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение. Рассмотриммаленькие треугольники и следовательно,эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой иостальные маленькие треугольники. Следовательно,

Любой угол правильногошестиугольника равен Треугольникии   — равнобедренные, углы приоснованиях равны Рассмотримразвернутый угол

Аналогично все остальные углышестиугольника равны следовательно, шестиугольник   — правильный.

25.  Тип25№315126

Медиана BM треугольника ABCявляется диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине.Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABCравен 7.

Решение. Введемобозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник BOK: онравнобедренный, следовательно, Аналогичнов треугольнике OKM имеем: Теперьрассмотрим треугольник MBK: сумма его углов равна 180°, поэтому

Поскольку кроме этого имеем:

Рассмотрим треугольники BMKи они прямоугольные, имеют общий катет,а катеты BK и KC равны. Следовательно, эти треугольники равны, азначит,

Точка M равноудалена от всехвершин треугольника: следовательно, точка M  —центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда

Ответ: 14.

Приведем другоерешение.

Введем обозначения, как показано нарисунке. Угол BKM прямой, поскольку он опирается на диаметр окружности.Тогда отрезок MK является высотой треугольника BMC, и так как онявляется также медианой этого треугольника, треугольник BMCравнобедренный. Поэтому BM  =  MC  =  AM. Следовательно,точка М является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC,тогда AC  =  2R  =  2 · 7  =  14.

Приведем еще однорешение.

Угол BKM  — прямой,поскольку опирается на диаметр. MK  — средняя линия треугольника ABC,тогда MK параллельна AB и ∠ABC  =  ∠MKC  =  90°.Таким образом, треугольник ABC прямоугольный, центр описанной вокругнего окружности лежит на середине гипотенузы AC, тогда AC  =  2R  =  2 · 7  =  14.

Примечание.

Обращаем внимание читателей на то,что в условии задачи задан радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC,а не радиус изображенной на рисунке окружности, описанной вокруг треугольника BMK.